Integration - Textaufgabe

Hallo!

Ich hab hier eine Textaufgabe zum Integrieren, aber ich verstehe das überhaupt nicht.

Bsp: Ein kleiner Körper wird zur Zeit t=0s mit einer Geschwindigkeit v0=30m/s aus einer Höhe h = 10m senkrecht nach oben geworfgen. Dann ist seine Geschwindigkeit s=v0-g*t für Zeit t >= 0s, wenn g = 10m/s² die Fallbeschleunigung ist.

a.) Berechne seine Höhe s zur Zeit t.
b.) Bestimme seine größte Flughöhe sowie den Zeitpunkt des Aufterffens am Boden.

a.)
Integration: s(t)=v0*t-g*t²/2 + C --> Ich muss ja Höhe s zur Zeit t berechen, aber da fehlt mir noch die Integrationskosntante C. Wie berchne ich die den? Laut Lösung: s(0)=h=C --> wie kommt man den auf das bitte?

b.)
Mann muss die größte Flüghöhe bestimmen. Hört sich schon fast wie ne Extremwertaufgabe an.
Und dann noch den Zeitpunkt am Boden des Gegenstands bestimmen.
Laut Lösung:
s=0 für t=v0/g=3s; --> s(3)=55m

Aber hier warum ist hier auch der Weg 0m? Wie kommt man auf das?

s(t)=0 für t=6,3s als Zeitpunmkt des Auftreffens am Boden.
Ja ok das ist klar das hier S=0 ist, da am Boden 0m sind...

PS: Kennt einer von euch so ähnliche Integrations-Aufaben? Oder Textaufgaben wo ein Punkt der Kurve gegeben ist und mann muss die Stammfunktion oder so ausrechnen?

mfg free_user

SeppJ

free_user schrieb:

a.)
Integration: s(t)=v0*t-g*t²/2 + C --> Ich muss ja Höhe s zur Zeit t berechen, aber da fehlt mir noch die Integrationskosntante C. Wie berchne ich die den? Laut Lösung: s(0)=h=C --> wie kommt man den auf das bitte?

Indem du die Randbedingungen einsetzt. Du weißt, s(0) = h. Nun setzt du t=0 ein und bekommst s(0) = h = v0*0-g*0²/2 + C = C. Somit C= h.

b.)
Mann muss die größte Flüghöhe bestimmen. Hört sich schon fast wie ne Extremwertaufgabe an.
Und dann noch den Zeitpunkt am Boden des Gegenstands bestimmen.
Laut Lösung:
s=0 für t=v0/g=3s; --> s(3)=55m

Aber hier warum ist hier auch der Weg 0m? Wie kommt man auf das?

Welcher Weg? Der Weg ist hier doch gar nicht berechnet, sondern s, die Flughöhe. Und die Definition des Bodens ist Höhe 0.

PS: Kennt einer von euch so ähnliche Integrations-Aufaben? Oder Textaufgaben wo ein Punkt der Kurve gegeben ist und mann muss die Stammfunktion oder so ausrechnen?

Physikbücher für die Schule ab dem Zeitpunkt, wo man Integrieren und Differenzieren erwarten kann, also ungefähr ab Oberstufe.

Ah ok jetzt verstehe ich - Danke!

Eine Frage: Warum muss ich hier eigentlich integrieren? In diesem Fall hab ich integriert das ich die Stammfunktion bekomme. Kann ich den nicht mit der Ableitung schon auf das richtige Ergebnis kommen?

knivil

s=v0-g*t

Sollte wohl v = v0 - g*t heissen. v ist (beispielsweise) in m/s angegeben, bzw. ds/dt, bzw. die Ableitung des Weges s nach der Zeit. Um den Weg zu bekommen, muss mit der Zeit multipliziert werden. Genau das ist das dt beim Integral.

Ahja stimmt, sonst würds ja nicht passen von den Einheiten. Also wie berechne ich nun den Weg?

Einfach: s=v*t fertig? Was ist nun mit dem C?

Und wie siehts bei b.) aus?

Jetzt bin ich total verwirrt .

knivil

free_user schrieb:

Einfach: s=v*t fertig? Was ist nun mit dem C?

Nein! Aber dazu wurde bereits alles gesagt. Glueck verschenken, selber denken. Wie sollst du denn dann die Beschleunigung dann beruecksichtigen. Ok, weil es heute ist wiederhole ich SeppJ:

a)
Gegeben:

$v = \frac{ds}{dt} = v_0 - g*t$

Gesucht: s. Also nach $dt$ integrieren, um aus $\frac{ds}{dt}$ das $dt$ wegzubekommen.

$\int \frac{ds}{dt}\dot{}dt$ bitte nicht kuerzen sondern einsetzen, da $ds$ von $t$ abhaengt.

$s(t) = \int (v\_0-g\dot{}t) dt = s\_0 + v_0\dot{}t - \frac{1}{2}g\dot{}t^2$

Konstante $s_0$ aus den Anfangsbedingungen bestimmen. Die Gleichung soll fuer alle Zeitpunkte gueltig sein, also auch fuer $s(0) = 10 m$ . D.h. $s_0 = 10m$

b) Annahme, der Boden befindet sich in $0m$ Hoehe und die Startzeit ist $t_0 = 0$ .

Einsetzen in $s(t) = 0 = s\_0+v\_0\dot{}t - \frac{1}{2}g\dot{}t^2$ und $t$ bestimmen. Daraus erhaelt man 2 Loesungen, die eine entfaelt.

Maximale Hoehe: Das ist eine Extremwertaufgabe mit einer Quadratischen Gleichung.

Könnt ihr mir bitte auf die Sprünge helfen :), wie ich das lösen kann?

wxSkip

@knivil: Wo ist denn bei der maximalen Höhe die quadratische Gleichung?

@free_user: Du musst den Hochpunkt von s(t) finden, d.h. du setzt die Ableitung, also v(t) gleich Null... Den Rest solltest du hoffentlich schon mal gelernt haben.

knivil

wxSkip schrieb:

@knivil: Wo ist denn bei der maximalen Höhe die quadratische Gleichung?

3 Mal darfst du raten. Ach verdammt, so viele stehen gar nicht zur Auswahl.

Ahh ok danke jetzt wirds schon geläufiger.

Aber warum steht dann da s(t)=... nach dem man die v-Formel integriet hat? und nicht mehr v?

Warum kann man jetzt aufeinmal s(t) statt v schreiben?

vario-500

da v(t) integriert das gleiche ist wie s(t). du kannst ja spaßeshalber mal s(t) ableiten (immer nach der zeit), dann bekommst du v(t), wenn du das ableitest bekommst du wieder was. wenn du schon differentialrechnung hattest und das in zusammenhang mit geschwindigkeiten wird es dir ganz logisch vorkommen

knivil

Weil v = ds/dt ist, weil v die Ableitung des Weges nach der Zeit ist, weil ...

Und was erhaeltst du, wenn du die Geschwindigkeit nochmals nach der Zeit ableitest, bzw. den Weg zweimal nach der Zeit?

wxSkip

knivil schrieb:

wxSkip schrieb:

@knivil: Wo ist denn bei der maximalen Höhe die quadratische Gleichung?

3 Mal darfst du raten. Ach verdammt, so viele stehen gar nicht zur Auswahl.

Ups, die Aufgabe mit dem Auftreffen auf den Boden habe ich übersehen. Aber bei der maximalen Höhe gibt es trotzdem keine quadratische Gleichung