Überführung eines Ausdrucks in eine Summe



  • Hallo:
    (x1+...+xn)=i1=1nxi1(x_{1} + ... + x_{n}) = \sum _{i_{1}=1}^n x_{i_{1}}
    (x1+...+xn)2=i1=1ni2=1nxi1xi2(x_{1} + ... + x_{n})^2 = \sum _{i_{1}=1}^n\sum _{i_{2}=1}^n x_{i_{1}}x_{i_{2}}
    ......
    ich versuche nun diesen Ausdruck in eine Summe zu überführen:
    (x1+...+xn)γ=i1=1n...in=1nxi1...xiγ(x_{1} + ... + x_{n})^\gamma = \sum _{i_{1}=1}^n ...\sum _{i_{n}=1}^n x_{i_{1}}...x_{i_{\gamma}} also γ\gamma Summen und j=1γxij\prod _{j=1}^\gamma x_{i_{j}} Faktoren (Argument der innersten Summe).

    Es müsste soweit alles passen, mehrfach nachgerechnet etc und auch von der Logik her müsste es hinhauen (ein Rechenfehler könnte natürlich drins ein, immerhin macht auch gleich der Bäcker wieder auf 😮 ).
    Meine Frage nun an alle Studierten&Mathefreaks: Gibt es eine allgemeine Notation/Regelung/... um diesen Ausdruck: i1=1n...in=1n\sum _{i_{1}=1}^n ...\sum _{i_{n}=1}^n zu verallgemeinern, sodass die Punkte verschwinden und nach möglichkeit nur noch ein Summezeichen da ist, das dann eben die γ\gamma Summenzeichen erzeugt ?



  • Zack und schon den angesprochenen Rechenfehler bzw Tippfehler entdeckt:
    Im Index des Laufindex der Summe(n) steht natürlich ein γ\gamma, kein nn ... 🙄





  • Bongobong schrieb:

    Meine Frage nun an alle Studierten&Mathefreaks: Gibt es eine allgemeine Notation/Regelung/... um diesen Ausdruck: i1=1n...in=1n\sum _{i_{1}=1}^n ...\sum _{i_{n}=1}^n zu verallgemeinern, sodass die Punkte verschwinden und nach möglichkeit nur noch ein Summezeichen da ist, das dann eben die γ\gamma Summenzeichen erzeugt ?

    (i_1,,i_n){1,,n}n\sum_{(i\_1, \ldots, i\_n)\in\{1,\ldots,n\}^n}
    bzw. (i_1,,i_γ){1,,n}γ\sum_{(i\_1, \ldots, i\_\gamma)\in\{1,\ldots,n\}^\gamma}



  • Danke für die Antworten.

    Das Multinominaltheore hilft mir leider nicht weiter, ich habe die multinominalen Formeln nur als Beispiel verwendet.

    Was sagt diese Notation:

    Bashar schrieb:

    (i_1,,i_γ){1,,n}γ\sum_{(i\_1, \ldots, i\_\gamma)\in\{1,\ldots,n\}^\gamma}

    aus?
    Bzw, wie würde man das sprachlich erklären? Jedes iindexi_{index} läuft durch die Menge {1,...,n}\{1,...,n\} und nimmt jeden Wert γ\gamma-mal an und führt dabei die Funktion (also das innerhalb der Klammer) aus. ?

    Die Notation würde also nun folgendermaßen aussehen:
    (x\_1 + x\_2 + \ldots + x\_n)^\gamma = \sum \limits\_{(i\_1, \ldots, i\_\gamma)\in\{1,2,\ldots,n\}^\gamma} (\prod\limits_{j=1}^\gamma x_{i\_j}) = (x\_{1\_1}\*x\_{1\_2}\*\ldots\*x\_{1_\gamma}) + (x_{2\_1}\*x\_{2\_2}*\ldots\*x\_{2_\gamma}) + \ldots + (x_{\gamma\_1}\*x\_{\gamma\_2}*\ldots*x\_{\gamma_\gamma})
    Ich werde das noch auf fehler überprüfen, mir geht es vorerst nur um die Notation mit der Summe 🙂



  • Bongobong schrieb:

    Was sagt diese Notation:

    Bashar schrieb:

    (i_1,,i_γ){1,,n}γ\sum_{(i\_1, \ldots, i\_\gamma)\in\{1,\ldots,n\}^\gamma}

    aus?
    Bzw, wie würde man das sprachlich erklären? Jedes iindexi_{index} läuft durch die Menge {1,...,n}\{1,...,n\} und nimmt jeden Wert γ\gamma-mal an und führt dabei die Funktion (also das innerhalb der Klammer) aus. ?

    {1,,n}γ\{1,\ldots,n\}^\gamma ist ein kartesisches Produkt. Falls AA und BB Mengen sind, dann ist bekanntlich A×B={(a,b)aA,bB}A\times B = \{(a,b)\mid a\in A, b\in B\}.
    Die Potenzschreibweise ist das mehrfache kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst:
    A0={()}A^0 = \{ () \}
    An+1=A×An,n0A^{n+1} = A\times A^n\quad, n\geq 0

    Also einfach An={(a_1,,a_n)aiA,i=1,,n}A^n = \{ (a\_1, \ldots, a\_n) \mid a_i \in A, i = 1, \ldots, n\}.

    Die Summe läuft also über alle möglichen γ\gamma-Tupel (i_1,,i_γ)(i\_1, \ldots, i\_\gamma), die mit ij{1,,n}i_j\in \{1, \ldots, n\} bildbar sind.



  • 👍 top. danke für die Erklärung


Log in to reply