Was ist eine Falte?
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Ich beschäftige mich gerade mit dem Buch "Fraktale: Theorie und Praxis der deterministischen Geometrie".
Dies beginnt mit der Definition von metrischen Räumen, äquivalente Metriken, Homomorphismen,...
Im weiteren Kapitel tauchen dann Transformationen auf. Viele Fraktale basieren auf einfachen Transformationen drehen, falten, kopieren, skalieren,...
Und auf einmal taucht der Begriff Falte auf, ohne dass eine Definition erfolgte, sondern nur ein paar Bilder dazu gezeigt wurden. Dazu wurde die Aufgabe gestellt zu zeigen, dass jede Falte auch ein Extremwert darstellt.
Nach einer Recherche bin ich zur folgenden Kenntnis gekommen:
Eine Falte ist in Extremwert, welcher kein Sattelpunkt ist und die dazugehörige Funktion dementsprechend nicht injektiv ist. Folgendes Beispiel:
f(x, y) = ((x-1)^2 + 1, y)
Für f(2, y) erhalte ich (2, y) und für f(0, y) erhalte ich ebenfalls (2, y). Das bedeutet beide Punkte werden auf den gleichen Punkt transformiert.
Wenn nun z.B. x, y Pixel-Koordinaten darstellen und man ein Schwarz-Weiß Bild transformiert, in dem man alle schwarzen Pixel mittels der obigen Funktion transformiert, so wird die Faltung sichtbar.
Stimmt dies so?
BTW: Die KI hat mich hier etwas verwirrt, in dem sie meinte "dass f(x)=x^4 hätte bei x=0 ein Extremum aber keine Falte, weil die Funktion lokal injektiv bleibt (Ableitung verschwindet höherer Ordnung)". Und das kann ich so nicht nachvollziehen, da das obige Argument erhalten bleibt. Stünde hier f(x)=x^3, wäre dies was anderes.
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Also, die KI sagt mir:
Geometrisches "Aneinanderfalten" (Anordnung): Wenn Sie eine Linie nehmen, sie in der Mitte knicken und diesen Prozess unendlich oft wiederholen, erhalten Sie die berühmte Drachenkurve (Dragon Curve). Im Englischen spricht man hier oft von Paperfolding Fractals. Diese "Faltung" ist im Grunde eine Kombination aus Translationen und Rotationen der gestauchten Segmente.
Mathematische Faltung (Faltungsintegral): In der fortgeschrittenen fraktalen Geometrie (Maßtheorie) kann man die Struktur eines Fraktals durch die mathematische Faltung (Convolution) zweier Wahrscheinlichkeitsmaße beschreiben. Das Ergebnis einer solchen Faltung ist oft wieder ein fraktales Maß (z. B. Cantor-Verteilungen).
Was meiner Meinung nach auch Sinn machen würde, auch wenn ich den Begriff "Drachenkurve" noch nicht gehört habe.
Die Drachenkurve (genauer: die Heighway-Drachenkurve) ist eines der bekanntesten deterministischen Fraktale. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass sie sich trotz ihrer hochkomplexen, fraktalen Form niemals selbst überschneidet und eine Fläche lückenlos ausfüllen kann (Kachelung).
Sie kann auf drei verschiedene Arten definiert werden: geometrisch, als Iteriertes Funktionensystem (IFS) oder über ein L-System.
- Geometrische Definition (Das Papierfalt-Verfahren), 2. Definition als Iteriertes Funktionensystem (IFS), 3. Definition als Lindenmayer-System (L-System)
Ich glaube, du meinst das IFS:
In der deterministischen Geometrie wird die Drachenkurve in der komplexen Zahlenebene (\mathbb{C}) (oder als 2D-Vektoren) durch zwei kontrahierende (stauchende) Abbildungen definiert. Jede Iteration staucht das vorherige Objekt um den Faktor (\frac{1}{\sqrt{2}}) (ca. 0,707), dreht es und fügt die Teile neu zusammen:
(f_{1}(z)=\frac{(1+i)z}{2})
(f_{2}(z)=1-\frac{(1-i)z}{2})
f₁ staucht das Objekt, dreht es um 45 Grad nach links und skaliert es. f₂ staucht das Objekt ebenfalls, dreht es um 135 Grad, spiegelt es und verschiebt (translatiert) es um 1 nach rechts.
(Ich weiß nicht, wie hier Formeln funktionieren).
