Wenn ich so darüber nachdenke, könnte man das wegen der kleinen Zahlen wesentlich vereinfachen, so dass das doch locker in der Schule möglich wäre. Für die Schüler, die kreativ über das Problem nachdenken, anstatt das auf die harte Tour allgemein zu lösen. Denn die allgemeine Lösung ist viel zu schwer für die Schule. Aber eine Ereigniszahl von 5 bei hohen Wahrscheinlichkeiten mit nur 2 Spielern und die Fragestellung mit den 50% machen alles viel einfacher, wenn man sich nur darauf beschränkt.
Meine Erklärung auf Schulniveau, gegeben, dass sie entweder die Binomialverteilung kennen (eine der einfachsten Verteilungen, daher können sie das kennen), oder mittels Bildchen eine Binomialverteilung mit N<10 malerisch berechnen können (was auch realistisch ist, das sind nicht sooo viele Pfade, und die meisten kann man sogar sofort abbrechen, wenn 5 Siege unmöglich sind):
Wenn Spieler 1 über 50% kommt, dann ist das ausreichend, dass dann auch beide zusammen über 50% sind
75% ist schon recht wahrscheinlich, die Grenze, wo man über 50% ist, wird wohl so zwischen 5 und 10 liegen.
Probieren wir mal die Mitte N=7 aus (mittels Binomialverteilung oder Bildchen). Wir kommen sogar auf >75%!
Das war schon viel zu viel, nehmen wir mal 6: 53%!
Also ist man bei N=6 garantiert über 50%. Bei N=4 kann man logisch gesehen gar nicht 5 Siege haben, wir müssen also nur noch gucken, ob wir vielleicht bei N=5 schon fertig sind.
Für 5 Siege bei Spieler 1 bei 5 Versuchen ermitteln wir ca. 23.7% (Da N=5 und wir 5 Siege suchen, müssen wir nur 0.75 hoch 5 nehmen)
Für 5 Siege bei Spieler 2 bei 5 Versuchen ermitteln wir ca. 1.8% (ebenso einfach)
Es reicht, wenn Spieler 1 oder Spieler 2 5 Siege hat. Einfache Kombinatorik sollten die Schüler kennen. Das gibt P(egal wer = 5) = P(Spieler 1 = 5) + P(Spieler 2 = 5) - P(beide = 5). Wir brauchen gar nicht weiter über den letzten Term nachdenken, denn schon die ersten beiden Terme geben uns nur gut 25%, also gar keine Frage, dass das Gesamtergebnis weit unter 50% sein wird.
Die Antwort ist daher 6.
Das ist doch schon sehr viel einfacher als die Antwort auf die Frage, was die kumulative Wahrscheinlichkeit P(N,X,p1,...,pM)P(N, X, p_1, ..., p_M)P(N,X,p1,...,pM) von MMM Spielern mit Siegwahrscheinlichkeiten p1p_1p1 bis pMp_MpM für eine gegebene Siegeszahl XXX und Rundenzahl NNN ist
Da musste ich jetzt zugegebenermaßen 30 Minuten darüber nachdenken, bis ich diesen Weg mit dieser Erklärung hatte (und ich denke, ich bin etwas erfahrener als der typische Abiturient). Aber in der Schule wäre ich auch die Sorte Schüler gewesen, der niemals auf diesen Weg gekommen wäre, und stattdessen spontan die Multinomialverteilung hergeleitet hätte. Was wer weiß wie schwer gewesen wäre.
Als Prüfungsaufgabe daher denkbar mies, aber als kreative Aufgabe zur Abwechselung interessant, die einem zeigt, dass man nicht immer unbedingt alles mit Gewalt exakt berechnen braucht. Ich würde aber vorher die Wahrscheinlichkeiten (und Spieleranzahl?) anpassen. Hier war es eigentlich gar keine Frage mehr, dass das Ergebnis 6 sein würde, sobald man weiß, dass Spieler 1 bei 6 Versuchen auf 53% kommt. Man könnte einen guten Spieler mit 75% haben, und 10 schlechte mit 45%. Das ist interessanter. Oder gar 20 schlechte, weil man dann im letzten Schritt sogar die kombinatorischen Korrekturterme berücksichtigen muss (könnte aber zu schwer sein, weil man sich an dem Term auch tot rechnen kann).