K
Also versuchen wirs mal... ich schreib einfach mal drauf los, auch wenn du nen Teil schon hast.
DGL: x¨+bmx˙+cmx=0\ddot \mathbf{x} + \frac{b}{m} \dot \mathbf{x} + \frac{c}{m} \mathbf{x} = 0x¨+mbx˙+mcx=0
Der komplexe Ansatz
x(t)=Ceλt\mathbf{x}(t) = C e^{\lambda t}x(t)=Ceλt
x′(t)=Cλeλt\mathbf{x}'(t) = C\lambda e^{\lambda t}x′(t)=Cλeλt
x′′(t)=Cλ2eλt\mathbf{x}''(t) = C\lambda^2 e^{\lambda t}x′′(t)=Cλ2eλt
führt mit δ=b2m\delta=\frac{b}{2m}δ=2mb und ω02=cm\omega_0^2=\frac{c}{m}ω02=mc zu λ2+2δλ+ω02=0\lambda^2 + 2\delta\lambda + \omega_0^2 = 0λ2+2δλ+ω02=0
und damit λ1,2=−δ±δ2−ω02\lambda_{1,2}=-\delta \pm \sqrt{\delta^2-\omega_0^2}λ1,2=−δ±√δ2−ω02
Es liegt schwache Dämpfung vor (δ<ω0\delta<\omega_0δ<ω0). D.h. δ2−ω02\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}√δ2−ω02 ist imaginär. Mit ω2=ω02−δ2\omega^2=\omega_0^2-\delta^2ω2=ω02−δ2:
λ1,2=−δ±iω\lambda_{1,2}=-\delta \pm i\omegaλ1,2=−δ±iω .
Es folgt
x(t)=C_1eλ_1t+C2eλ_2t=e−δt(C_1eiωt+C2e−iωt)\mathbf{x}(t) = C\_1 e^{\lambda\_1 t} + C_2
e^{\lambda\_2 t} = e^{-\delta t} ( C\_1 e^{i\omega t} + C_2
e^{-i\omega t} )x(t)=C_1eλ_1t+C2eλ_2t=e−δt(C_1eiωt+C2e−iωt)
Mit der Eulerformel eiα=cosα+isinαe^{i\alpha}=\cos{\alpha} + i\sin{\alpha}eiα=cosα+isinα und den reellen Integrationskonstanten D_1=C_1+C2D\_1=C\_1+C_2D_1=C_1+C2 und D_2=i(C_1−C2)D\_2=i(C\_1-C_2)D_2=i(C_1−C2) ergibt sich als reelle Lösung
x(t)=e−δt(D_1cosωt+D_2sinωt)\mathbf{x}(t) = e^{-\delta t} ( D\_1 \cos{\omega t} + D\_2 \sin{
\omega t})x(t)=e−δt(D_1cosωt+D_2sinωt)
bzw.
x(t)=Ae−δtsin(ωt+φ)\mathbf{x}(t) = A e^{-\delta t} \sin{(\omega t + \varphi)}x(t)=Ae−δtsin(ωt+φ)
\mathbf{x}'(t)= A e^{-\delta t} [\omega\cos(\omega t +
\varphi) - \delta\sin(\omega t + \varphi)]
Hier lassen sich nun A und φ aus den Anfangsbedingungen bestimmen.
Mit x(0)=x0\mathbf{x}(0)=x_0x(0)=x0 und x′(0)=v0\mathbf{x}'(0)=v_0x′(0)=v0 folgt:
Asinφ=x0A \sin{\varphi}=x_0Asinφ=x0 und
A(ωcosφ−δsinφ)=v0A(\omega\cos{\varphi} -
\delta\sin{\varphi})=v_0A(ωcosφ−δsinφ)=v0
Auflösen führt zu
φ=arctanωx_0v_0+δx0\varphi=arctan{\frac{\omega
x\_0}{v\_0 + \delta x_0}}φ=arctanv_0+δx0ωx_0
bzw
A=x_02+(v_0+δx0ω)2A=\sqrt{x\_0^2 + \left(\frac{v\_0+\delta
x_0}{\omega}\right)^2}A=√x_02+(ωv_0+δx0)2
Hoffe das kommt hin und hilft.