C
man kann nat. allgemein argumentieren; in diesem speziellen fall kommt man aber schneller ans ziel, wenn man sich die speziellen eigenschaften des körpers zunutze macht. ein '(flächen-)'diagonalgeteiletr quader besitzt ja jede menge rechte winkel, also kommt mittels skalarprodukt ohne umwege sehr schnell zum ziel:
die grundfläche sei das dreieck ABC, der rechte winkel des dreickes sei in Punkt A.
zunächst ergänzen wir den körper wieder zum Quader.
zu entscheiden ob P im Quader liegt, ist sehr leicht, wegen der rechten winkel. es muss gelten:
0≤AP‾∗AB‾≤∥AB‾∥20\le\overline{AP}*\overline{AB}\le\|\overline{AB}\|^20≤AP∗AB≤∥AB∥2
0≤AP‾∗AC‾≤∥AC‾∥20\le\overline{AP}*\overline{AC}\le\|\overline{AC}\|^20≤AP∗AC≤∥AC∥2
0≤AP‾∗AE‾≤∥AE‾∥20\le\overline{AP}*\overline{AE}\le\|\overline{AE}\|^20≤AP∗AE≤∥AE∥2
um zu unterscheiden, ob P im abgeschnittenen teil des körpers liegt oder im verbleibenden teil, betrachtet man noch einmal die projektionen von P auf AB und AC; es muss gelten:
AP‾∗AB‾∥AB‾∥2+AP‾∗AC‾∥AC‾∥2≤1\frac{\overline{AP}*\overline{AB}}{\|\overline{AB}\|^2}+\frac{\overline{AP}*\overline{AC}}{\|\overline{AC}\|^2}\le 1∥AB∥2AP∗AB+∥AC∥2AP∗AC≤1
